昔の駐車ブレーキはダッシュボード付近からレバーを手で引き出していたところから、ハンドブレーキと呼ばれるようになったのではないでしょうか。
運転席横のレバーを引き上げるタイプもハンドブレーキですが、前者と区別するためサイドブレーキとも呼ばれるようになったと思われます。
足踏み式の正式名称ですか？・・・ハンドブレーキともサイドブレーキとも違いますよね。そのまんま「足踏み式駐車ブレーキ」でよろしいかと。
現在は足踏み式や電子式が主流になりつつありますから、全て「駐車ブレーキ」または「パーキングブレーキ」でよいと思います。