またしっかりアクセルを踏んだ上で上記のような注意をされているのであれば俗に言う「引っ張りすぎ」（簡単に言えばエンジン回転の上げすぎ）になります。
質問内容からでは明確な原因は分かりませんが、もし怖がって、もしくは他の理由でアクセルの踏み方が足りなく、加速に時間がかかっているようならアクセルの踏み方を少し多くしてあげればキチンと加速し、今までより短い時間で次のギアへ入れられると思います。

エンジンというのは出力が一定でなく、回転数によってパワーのあるところと低いところがあります。
ギアというのはそのエンジンのパワーのある回転領域を常に使うことができるようにするためにあり、クラッチというのはその仲介役をしています。
ですから自分の速度に合わせたギアの選択とエンジンの回転数の調和をとることがスムーズな走りをするために必要なことだと思いますので頑張ってください。