教習車ですが、タコメーター（エンジンの回転数のメーター）は付いていますよね？
自分はこれを見てやっているんですが、まず坂道で停止したらサイドブレーキを引きますよね。
そしてフットブレーキをゆっくり離して車体が下がらないことを確認し、アクセルをふかしてクラッチをつなぎながらサイドブレーキをおろすと思いますが、アクセルをふかすときに自分でここまで回転数を上げるというのを決めています。
普通に発進するときより１０００回転くらい強めにふかすのを一つの目安にして回転数を一定にします。
ここでは仮に３０００回転に合わせたとしましょう。
クラッチを切って（クラッチペダルを踏み込んだ状態で）アクセルをふかし回転数を３０００回転で一定になるようにしたら、アクセルはその位置で止めておき、次にクラッチだけ操作します。
クラッチペダルをゆっくりとあげて半クラッチにしていくと３０００回転あったエンジンの回転数が少しずつ下がってきます。
これがおかさんの言っている「エンジンの音が小さくなる」ときであり、ＭＲ貸切さんの言われている「車のリアがググッと引きあがるような感覚」が出てくるときだと思います。
で、ここでは仮に回転数が２０００回転になるというのを目安にしましょう。
回転数が２０００回転になるまでクラッチをつなげて（クラッチペダルを上げて）いって２０００回転になる位置でクラッチペダルを止めたらゆっくりサイドブレーキをおろしてください。
あまり早くやろうとしたり、いつもより強めにかけているサイドブレーキをおろそうとするときに余計な力が入って力んでしまうと、せっかく一定の位置で止めていた右足（アクセル）と左足（クラッチ）が動いてしまいますので足には力を入れずに一定になるように集中し、サイドブレーキをゆっくりおろすと、あら不思議、きちんと坂道発進できると思います。
エンジン音で判断する方法もありますが、このように目で数値見る方法もありますので参考にしてみてください。
もしかしたら音に慣れるまでは目で見た方が確実にできるかもしれません。