その点、普通よくやる、、、前進しながら角度をつけておく。方法なら
バックしだしたら後方だけ注意すればいいので楽チンですね。その分スピードも出せます。

まとめ：
いつどこに注意が必要なのかを意識して、それ以外の場所の注意を省略すれば
人並みのスピードが出ると思いますよ。

[車庫入れ左]の場合だと、
・車庫の横に来たときに、車庫内に障害物がないかよく見ておく。
「○×セール、○×フェア」などといったポールが立っていませんか？
猫や、酔っ払いが寝ていませんか？
・せっかちな後続車が右をすり抜けようとしていないかミラーをチェックしてから、
角度をつけるために右前に進む。このとき注意するのは車体右前だけ。
・バックを始めたら、まず左後ろ（内側）に注意。
これは左サイドミラーを見ればどれくらいの余裕があるか一目瞭然、よく見えますネ。
左後ろが車庫に入りそうなら、
・右後ろ（外側）を確認。
このときは右サイドミラーで見ても、いま一わかり辛いかもしれません。
窓から顔を出すか、ドアを開けて直接見るというのもいいでしょう。
・左右とも車庫に入ったら、あとはバックミラーとサイドミラーを見ながら停車位置まで後退する

（リアオーバーハングが長い場合はここに書いた以外の注意も必要ですが、
乗用車なら大抵これで大丈夫です。）

メモ：上手い人は、前を向いたままサイドミラーで車庫入れできるようですが、
（ワゴン車に付いている縦長ミラーならともかく）乗用車では難しい。
挑戦してみては？

メモ：混雑している駐車場で空きを見つけたらハザードを点けて
いち早く駐車スペースの権利を主張するという方法があるそうです。
今回の件とはあまり関係ありませんが。

駐車場での駐車ですが…
私が免許証取得した頃は右バックor左バックによる方向転換の方法で駐車していました。
なぜなら、入れやすい角度にして入れる方法もありますが、一番確実な方法だったからです。
コツは老婆心さんもおっしゃていますが左右のドアミラーで自車の位置を
確認するのがよいかと思います。
ご参考までに…