1.自分の住所とは関係なく、どこの都道府県の教習所でも教習を受け卒業検定を合格すれば卒業証明書がゲットできます。

2.教習所はどこでも自由ですが、本免学科試験は住所のある都道府県公安委員会に受けに行かなければなりません。

3.免許交付は当然その公安委員会から行われます。

最初のわたしの回答がわかりにくかったですね、ごめんなさい。
たねさんは東京の試験場にて本免学科試験をうけて、合格すればそこで免許交付となります。

たねさんはその「届出」の教習所に通ってらっしゃるわけです。
「届出」とは「非公認」とも言いますが、要するに実技試験、学科試験、
適正試験すべてを免許センターで受けるタイプの場所です。自前のコース
を持たない「個人指導」というのもこの範疇に入れてもいいでしょう。
いわゆる「教習所」（たねさんのおっしゃる自動車学校）は、免許セン
ター（場合によっては警察署）で学科試験と適正試験のみ受ければいい、
つまり実技試験を教習所で行われる「検定」を通る事で免除される所のこ
とです。公安委員会の「指定」を受ける事で実技試験が免除されているわ
けです。
たねさんの場合、「指定教習所」に入所して教習（学科、技能ともに）
を受け、「卒業検定」に合格して卒業し、免許センターで学科試験と適正
試験だけ受けて免許を手にする方法と、「非公認」の練習所もしくは個人
指導による路上運転指導を最低５日以上受けて、免許センターの実技試験
と学科試験、適正試験を受けたのち免許を手にする方法の二通りがありま
す。後者の場合、土地勘がなければ、東京の免許センターが使う路上試験
コースを把握する必要から、「５日」で収まるかどうかは微妙なところで
しょうが・・・。
時間とお金はどちらがかかるか明言はできませんが、一般的には「指定
教習所」に入ったほうが時間はかかると思います。何せ学科１６時限、技
能１９時限を受けてのち、卒業検定となりますから。
ただし、「非公認」のところで免許をとったら、「取得時講習」を受け
る必要があります。学科２時限、高速教習、応急救護がその内容です。

非公認の方が通う日数的には確実に少ないと思います。
ちなみに一段階から指定教習所に通う教習生で毎週土日しかこれない・・・
という方は３〜4ヶ月で卒業していく人が多いです。